Wenn ich korrekt informiert bin, kann ich auf einen Unterhaltsanspruch nicht verzichten
Das ist korrekt, wird jedoch häufig missverstanden.
den müsste ich doch durchsetzen, oder nicht?
Nein, musst du nicht.
Daher die Frage, ob das Jobcenter diesen nicht an meiner Stelle gegen meine Mutter durchsetzen würde, notfalls auch gerichtlich, bevor es Leistungen erbringt.
Nein, würde es nicht. Wie ich dir bereits unter Hinweis auf die gesetzliche Grundlage schrieb, ist der Anspruchsübergang gesetzlich ausgeschlossen. Das Jobcenter ist damit nicht legitimiert in deinem Namen Unterhaltsansprüche einzufordern.